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量子計算中的么正操作符和幹涉現象

2022-05-13 16:21:58老魏去東

OK,現在我們已經大概了解了量子計算機和量子比特了。

可以回顧《量子計算機》和《qubit

那該怎麼控制這些神奇的qubit呢?傳統計算機使用的是邏輯操作和普通代數,我們可以使用while語句、if語句等編程技術,但是量子機都不能用。我們需要在量子力學原理下設計qubit的么正運算。聽起來很美好是吧,不過實際也不難。後面開始,我們會看一些么正操作符,以及他們和薛定諤方程的關系(這樣可以錶明這些設計沒有違反自然)。

量子門

傳統計算機全是使用邏輯操作符,比如或且非、异或等,可以完成非常複雜的業務。量子機使用完全不同的操作符,稱為量子門--Quantum Gate。所以我們沒法把現有程序重新編譯到量子機上使用,因為量子機利用的是量子糾纏和測量原理。
我們再看一下布洛赫球,理論上講量子計算機就是通過控制角度\(\Phi\)\(\theta\)來移動球面上的點(點就是狀態)。
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而從數學上看,一個疊加態轉變為另外一個疊加態使用的是矩陣形式的線性操作符\(U\)

\[|\phi\rangle\rightarrow U|\phi\rangle\ \]

對於單個qubit,操作符\(U\)是一個2階方陣:

\[\begin{pmatrix} U_{00}& U_{01} \\ U_{10}&U_{11} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \end{pmatrix} \]

薛定諤方程(選學)

這裏使用的就是最簡單的線性代數,從么正操作符開始可以推導出薛定諤方程。薛定諤方程是描述量子力學系統狀態的關鍵方程,它也得出了世界是線性的結論。如果不是線性的,那時間旅行和超光速都可以了。
當有

\[|\Psi,t\rangle=u(t,t_0)|\Psi,t_0\rangle,\forall t,t_0 \]

可得薛定諤方程:

\[i\hbar\frac{\partial }{\partial t}|\Psi,t\rangle=H(t)|\Psi,t\rangle \]

其中\(H\)厄米算符

薛定諤方程錶明了狀態是線性演化的,因為可以將其移項成:
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由於是線性方程,那麼對於方程兩個解\(\Psi_1\)\(\Psi_2\)

\[D(\Psi_1)=(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}-H)\Psi_1=0 \\ D(\Psi_2)=(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}-H)\Psi_2=0 \]

它們的線性組合依然是方程的姐:

\[D(\alpha\Psi_1+\beta\Psi_2)=(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}-H)(\alpha\Psi_1+\beta\Psi_2)\\ =\alpha(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}-H)\Psi_1+\beta(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}-H)\Psi_2\\ =0 \]

回到量子計算上,如果\(|0\rangle\)\(|1\rangle\)是系統兩個可行狀態,那麼它們的線性組合也是可行的狀態。

么正操作

並非所有的線性操作都能在物理中使用,它們需要是么正的而且滿足

\[UU^\dagger=U^\dagger U=I \]

其中\(U^\dagger\)\(U\)的複共軛轉置矩陣。比如

\[U=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \\ \end{bmatrix} \]

轉置就是第一行變第一列,第二行變第二列:

\[U^\dagger=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \\ \end{bmatrix}\\ \therefore UU^\dagger=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \\ \end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix}=I \]

么正操作有個良好性質是不改變矩陣範數,所以單比特球上疊加態的範數總是1:

\[\left\| |\phi\rangle|\right\|=\left\| U|\phi\rangle|\right\|=\mathbf{1} \]

看下面薛定諤方程的解,它天然就遵守這個么正要求:

\[|\psi(t)\rangle=e^{-iHt}|\psi(0)\rangle\\ e^{-iHt}e^{iHt}=I \]

裏面的\(H\)是厄密算符,它的共軛轉置等於自己。下面是一個厄密算符的粒子:在\(z\)軸方向有一個均勻磁場\(E_0\)

\[H=\begin{bmatrix} E_0 & 0 \\ 0 & E_0 \\ \end{bmatrix} \]

把它代回上面的解,會使得狀態在\(z\)軸旋轉:

\[|\psi\rangle=\alpha|\uparrow \text{z}\rangle+\beta|\downarrow \text{z}\rangle\to|\psi(t)\rangle=\alpha e^{-iE_0t/\hbar}|\uparrow \text{z}\rangle+\beta e^{iE_0t/\hbar}|\downarrow \text{z}\rangle \]

么正操作有啥物理含義呢?它錶示操作是可逆的。比如看電影,電影可以正著放可以倒著放(一般的播放器估計還沒這功能),你甚至不知道電影正在正放還是倒放。幾乎所有的物理學定律都是時間上可逆的,極個別例外有泡利測量和熱力學第二定律。
所以設計量子算法的時候尤其要注意這一點,比如异或XOR就不可逆,這會導致信息丟失。因為我們拿到結果1,不知道它是0和1的异或還是1和0的异或。量子操作就是量子門,它必須是么正操作符,必須有另一個門能够完成逆操作。不管一個矩陣多複雜,只要數學上證明了它的么正性,理論上科學家就能把它實現到量子機裏。
為了實現算法的可逆性,有時候科學家不得不把一些輸入帶到輸出裏來。比如下面這個電路,把向量\(x\)又帶出去了,這樣對於結果是多餘的,但是對於可逆是必要的的。
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接下來看一個最常見的量子門:哈德瑪門(Hadamard gate)

\[H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1&1\\1&-1 \end{bmatrix} \]

或者用狄拉克記號錶示:

\[H=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle0|+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle1| \]

哈德瑪門作用在兩個基態上的影響是:

\[H|0\rangle=\left ( \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle0|+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle1|\right )|0\rangle= \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\\ H|1\rangle=\left ( \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle0|+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle1|\right )|1\rangle= \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}} \]

這個計算過程極其簡單:基向量自己的內積是他們的範數,等於1;基向量是正交的,相互的內積是0。所以一下子就得到結果了。有點像“分揀器”,作用在哪個基態上,結果就是這個基態自己的系數;另一個基態就丟失了。
或者你可以使用原始矩陣計算:

\[H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1&1\\1&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\\ H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1&1\\1&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}} \]

這裏面矩陣乘法倒是簡單,就是最後的結果又拆成了基態的線性組合。
那哈德瑪門的疊加態影響是啥?回顧一下布洛赫球,上篇文章我們列出了6個關鍵點,這裏結果正是\(x\)軸和球面的交點:
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所以應用一次哈德瑪門的結果是得到兩個概率一樣的基態組合,它們的振幅都是1/2。測量以後有相等的概率得到兩個基態。那再應用一次哈德瑪門呢?你會驚訝的發現...


\[H\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}=\left ( \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle0|+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle1|\right )\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)\\ =\left[ \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\left(\langle0|\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right) + \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\left(\langle1|\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right) \right]\\ =\left[ \frac{|0\rangle+|1\rangle}{2}\left(\langle0{|0\rangle+\langle0|1\rangle}\right) + \frac{|0\rangle-|1\rangle}{2}\left(\langle1|{0\rangle+\langle0|1\rangle}\right) \right]\\ =\frac{|0\rangle+|1\rangle}{2}+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{2}\\ =|0\rangle \]


\[H\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}=\left ( \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle0|+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle1|\right )\left(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)=|1\rangle \]


看到了吧,給一個基態應用兩次哈德瑪門結果保持不變。這已經證明哈德瑪門是可逆的,而且“破壁人”就是自己:

\[H^\dagger=H\\ HH^\dagger|\psi\rangle=HH|\psi\rangle=|\psi\rangle \]

所以哈德瑪門是么正的

幹涉

量子計算的基礎是幹涉和糾纏。當然不了解這些概念,從數學上也能理解量子計算。

幹涉是波特有的現象,波的幹涉會出現疊加和抵消。
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為什麼量子計算需要用到幹涉?我們來做幾個小實驗。
第一個實驗中制備一批入射光子,它們都被極化成狀態\(|0\rangle\)。光子流會被\(45^{\circ}\)傾斜分光器\(B\)分成均勻的兩束垂直光,在兩條路上分別放一面鏡子來將光反射到兩個光子探測器\(D\)來檢驗光强。


馬赫-曾德爾幹涉儀
從經典力學角度看,光子被均勻分成兩束,肯定到達探光器也是相等的强度。 第二個實驗中,在探測器前面增加一個分光器$B_B$,兩束光都可以經過這個分光器,又會被分成均勻的兩束:

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直覺上看,兩個分光器是互不影響的(兩個獨立事件),每個探測器都應該接收到分光器的一半光。光走圖中紅線到達\(D_0\)的概率是

\[P(A,B)=P(A)P(B|A)\to P(A)P(B)=\frac{1}{4} \]

每個光子到\(D_0\)的概率是\(\frac{1}{4}\times2=\frac{1}{2}\),它要麼走上面的路,要麼走下面的路。所以每個探測器都接收到一半的光子。
但是實際的實驗結果卻不是這樣的,只有\(D_0\)接收到光子
我們通過哈德瑪門來建模實驗中的狀態轉移。在第一個實驗中,光子經過第一個分光器\(B_A\)後的狀態變化是

\[|0\rangle\overset{B_A}{\rightarrow}\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} \]

現在沒有第二個分光器,直接使用探測器進行測量,所以每條路線的概率是\(\frac{1}{2}\)(一半的光子坍縮到\(|0\rangle\),一半的光子坍縮到\(|1\rangle\))。從結果上看,使用哈德瑪門確實可以建模。在第二個實驗中,由於有兩個分光器,相當於使用哈德瑪門兩次。所以所有光子的狀態維持了最初的\(|0\rangle\),只會有一個探測器探測到光子。所以實驗結果證明了我們的量子門是正確的,而使用經典概率論方法得不到符合實際的結果。
你估計還是迷迷糊糊,覺得解釋有點牽强。所以我們繼續看第二次分光:
\( 第一次分光:H|0\rangle=\left ( \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle0|+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle1|\right )|0\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\\ 第二次分光:H\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} \)
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每個光子的疊加態中,狀態\(|0\rangle\)得到了增强,狀態\(|1\rangle\)被抵消掉了。
現在做第三個實驗,在第一個分光器之後的上面路線上放一個探測器\(D_X\),就可以在\(D_1\)\(D_2\)都接收到光子。
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這個符合量子力學的計算嗎?光子在經過第一個分光器後向上走的一束經過了第一次探測,一半坍縮成\(|0\rangle\)一半坍縮成\(|1\rangle\)。然後經過第二個分光器,又變成了對半疊加態,一半去了\(D_0\)一半去了\(D_1\)
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所以只要你知道光子走哪條路,最後就會在兩個探測器上分別接收一半光子。額外的測量會改變系統的狀態,粒子加密正是利用了這一點(稱為“量子隱形傳態”)。

物理學家可以利用量子門中的幹涉行為模擬真實原子世界的幹涉行為。經典方法是計算概率是否大於等於0:這要求事件互相獨立,實際試驗是不符合的。所以量子力學認為這樣不對,需要引入複數和負數。不再使用概率論,而是使用幹涉模型。這樣幹涉就和么正算符一樣了,可以在量子計算機中進行實現了:物理學家看著是幹涉,數學家看到的是矩陣。

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